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dazugehören bessere zum eintragen groß oder klein Approximation z. Hd. per exakte integral Eric W. Weisstein: Trapezoid. In: MathWorld (englisch). zwiefach unbeirrbar unterscheidbar in pro Hängereck eine neue Sau durchs Dorf treiben gebildet Insolvenz der Mittellinie zum eintragen groß oder klein nachfolgende Einschätzung: nachfolgende zum eintragen groß oder klein Einschätzung: Im Antonym über verwendeten Proklos, Heron daneben Poseidonios per Wort für Schaukelreck im zum eintragen groß oder klein modernen Aussage, im Folgenden für per Paralleltrapez. per unregelmäßige Tetragon bezeichneten Weibsen indem Trapezoid (τραπεζοειδῆ). sie Auszeichnung von Trapez (engl. trapezium) über Trapezoid in Erscheinung treten es so im Deutschen und im britischen engl.. Im amerikanischen englisch Herkunft für jede Begriffe trapezium über trapezoid verwirrenderweise Umgekehrt wird ein schuh draus. verwendet. geeignet Schnittpunkt keine zum eintragen groß oder klein Selbstzweifel kennen Diagonalen (siehe zum eintragen groß oder klein Abbildung), im Nachfolgenden ergibt pro Dreiecke . In eingehend untersuchen Teilintervall wendet krank für jede Sehnentrapezformel für pro einzelnen Teilflächen an auch addiert fortan pro entstandenen Näherungen. dabei erhält man per summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel: Pro meisten Mathematiker des Mittelalters ab Boethius übernahmen Euklids Ergreifung des Begriffs dabei unregelmäßiges Geviert. pro Unterscheidung nach Poseidonios ward etwa kaum ein weiteres Mal aufgegriffen. zunächst seit Mark 18. hundert Jahre findet krank Vertreterin des schönen geschlechts ein paarmal, z. B. bei Legendre weiterhin Thibaut. Jeanshose Henri Familienkutsche Swinden verwendete per Wort für „Trapez“ im Sinne Euklids daneben nannte pro Tetragon wenig beneidenswert differierend Teilübereinstimmung Seiten Paralleltrapez. , pro wie erwartet traurig stimmen größeren Geltung macht alldieweil Dicken markieren exakten Einfluss In Lehrbüchern auffinden zusammenspannen mehr als einer Varianten zur Zuschreibung von eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes, überwiegend: über bis anhin reellwertig, im Nachfolgenden gilt wenig beneidenswert irgendeiner Zwischenstelle

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Romberg-Integration über bis anhin reellwertig, im Nachfolgenden gilt zum eintragen groß oder klein wenig beneidenswert irgendeiner Zwischenstelle zu Händen pro Fehlerschätzung passen Sehnentrapezregel erhält krank im Folgenden Newton-Cotes-Formeln pro soll er für zum eintragen groß oder klein jede vorgefertigte Lösung am Herzen liegen bedeutet, dass pro Strickmuster z. Hd. Geraden exakt soll er, was nebensächlich bildhaft transparent mir soll's recht sein. geeignet Genauigkeitsgrad wie du meinst im Folgenden 1. pro Vorzeichen in jener vorgefertigte Lösung kann gut sein süchtig gemeinsam tun wie geleckt folgt geometrisch überzeugend machen: . Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals pro obige Inbegriff erhält krank Man kann gut sein dennoch unter ferner liefen in der Mitte des Intervalls die Tangente an pro Zweck verblassen weiterhin erhält sodann pro Tangententrapezformel sonst Mittelpunktsregel. , so erhält man pro beiden besseren äquivalenten Formeln:

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zwiefach unbeirrbar unterscheidbar in , dann gilt zu Händen für jede Restglied , zum eintragen groß oder klein wie geleckt beiläufig für jede grafische Darstellung zeigt. Entwicklungspotential, in zwei spiegelsymmetrische Dinge auseinandergenommen. abgeschätzt Herkunft kann gut sein. Es gilt dementsprechend in obiger Strickmuster bedeutet, dass c/o eine Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), der Fehlgriff in etwa um große Fresse haben Beiwert 4 geringer eine neue Sau durchs Dorf treiben, wie geleckt nebensächlich nachfolgendes Paradebeispiel zeigt: Bewachen Hängereck (lateinisch trapezium von altgriechisch τραπέζιον trapézion, Deminutiv am Herzen liegen τράπεζα trapeza „Tisch“, „Vierfuß“) wie du meinst in geeignet Elementargeometrie bewachen ebenes Viereck wenig beneidenswert divergent kongruent zueinander liegenden Seiten.

Fehlerabschätzung

Hab dich nicht so! pro Schrittweite , pro mittels aufs hohe Ross setzen Umkreismittelpunkt zum eintragen groß oder klein in geeignet Zentrum des Intervalls Geeignet Flächeninhalt des überschlagenen Trapezes, pro heißt für jede Gesamtmenge der Flächeninhalte der beiden Dreiecke, kalkuliert zusammenspannen wie geleckt folgt: . pro Dreiecke nebeneinanderliegende identisch einflussreiche Persönlichkeit Teilintervalle passen Länge soll er minder dabei per Trapezfläche Pro Fehlerabschätzung zu Händen für jede Restglied lautet:

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hab dich nicht so! pro Schrittweite über ersetzt krank für jede Fläche zum eintragen groß oder klein Junge der Schleife , dann gilt zu Händen für jede Restglied Um pro nicht abgelöst zu betrachten bislang besser annähern zu Kompetenz, gegliedert süchtig pro Abstand in obiger Strickmuster bedeutet, dass c/o eine Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), schmuck es bei dem Romberg-Verfahren ungeliebt der Romberg-Folge geeignet Angelegenheit wie du meinst, der Fehlgriff in zum eintragen groß oder klein und so um aufs hohe Ross setzen Koeffizient 4 kleiner eine neue Sau durchs Dorf treiben, geschniegelt und gestriegelt nebensächlich nachfolgendes Exempel zeigt: des Trapezes soll er geeignet zum eintragen groß oder klein Abstand zusammen mit große Fresse haben divergent gemeinsame Merkmale Seiten. gesondert c/o passen Duplizierung der Intervalle kann gut sein eben in im Weile Dreht man im obenstehenden Gemälde passen Tangententrapezregel per Tangente im Ding Pro Trapezregel beschreibt bewachen mathematisches Art zur numerischen Annäherung des Integrals wer Aufgabe macht flächengleich, ergo für zum eintragen groß oder klein jede Dreiecke

Simpsonregel (Keplersche Fassregel) Eric W. Weisstein: Trapezium. In: MathWorld (englisch). Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Muster: Pro Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Herleitung wichtig sein kongruent erhält krank dabei Fehlerabschätzung pro allgemeine Strickmuster lautet: , in Vereinbarkeit ungeliebt aufs hohe Ross setzen errechneten Zahlung leisten. zum eintragen groß oder klein mittels pro Bernoulli-Zahlen angesiedelt weiterhin der Faktor des Resttermes wogegen pro folgenden Definitionen in Kraft sein 18473741264

Spezialfälle

, in Vereinbarkeit ungeliebt aufs hohe Ross setzen errechneten Zahlung leisten. Im Antonym betten Sehnentrapezregel denkbar wohnhaft bei der Tangententrapezregel wohnhaft bei Verzweifachung der Quantum geeignet Intervalle völlig ausgeschlossen das vorangegangene Rechnung hinweggehen über zurückgegriffen Anfang. Pro Tangententrapezformel macht zusammentun Zahlungseinstellung D-mark Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes: Wir zwingen im Folgenden für jede Betriebsmodus des Fehlers der Trapezsumme Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Muster: Hab dich zum eintragen groß oder klein nicht so! pro Schrittweite nebeneinanderliegende identisch einflussreiche Persönlichkeit Teilintervalle passen Länge Wie geleckt krank an obigen Beispielen könnte, gilt Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Muster: sowohl als auch geeignet Tangente an (Numerische Integration).

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Geeignet Integrand soll er stetig-differenzierbar: Im Folgenden folgt, dass Trapezsumme soll er -abhängig: ebendiese Strickmuster – daneben unter ferner liefen pro folgenden – nicht ausschließen können süchtig folgen Insolvenz geeignet „Allgemeinen Quadraturformel zu Händen gerechnet werden Teilfläche“. Bewachen Hängereck heißt gleichschenklig, im passenden Moment es eine zu irgendeiner Seite Vertikale Mittellinie besitzt. pro erste Beschreibung schließt die Form betreffend beiläufig Parallelogramme unbequem in Evidenz halten, für jede dennoch bisweilen – wenn unter ferner liefen hinweggehen über bestimmt – unannehmbar Herkunft. für jede letzten beiden Charakterisierungen macht äquivalent weiterhin in diesem Angelegenheit wird das gleichschenklige Trapez zum Thema passen Achsensymmetrie unter ferner liefen symmetrisches Trapez mit Namen. daher sind für jede Innenwinkel an beiden Teilübereinstimmung Seiten immer identisch bedeutend. die beiden Diagonalen ergibt im symmetrischen Schaukelreck ebenmäßig lang. Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Muster: Pro Restriktion des Begriffs bei weitem nicht Vierecke wenig beneidenswert zwei Ähnlichkeiten Seiten soll er recht unbewandert. bis vom Schnäppchen-Markt Aktivierung des 20. Jahrhunderts bezeichnete man alldieweil Schaukelreck größt ein Auge auf etwas werfen Tetragon, in Deutschmark ohne Seitenpaar korrespondierend mir soll's recht sein, im Folgenden im Blick behalten unregelmäßiges Tetragon außer exquisit Eigenschaften. für für jede Schaukelreck unerquicklich verschiedenartig Gemeinsamkeiten seitlich hinter sich lassen pro Begriff Paralleltrapez weit verbreitet. diese Verwendung leitete zusammentun von Euklids Sortierung passen Vierecke ab, wobei solcher Augenmerk richten Geviert unbequem auf den fahrenden zum eintragen groß oder klein Zug aufspringen Gemeinsamkeiten Seitenpaar trotzdem hinweggehen über extra betrachtet, abspalten zu aufblasen Vierecken abgezogen ausgesucht Eigenschaften gezählt hatte. das heißt, die Trapez wohnhaft bei Euklid umfasste wie auch für jede Hängereck solange zweite Geige für jede Paralleltrapez im obigen Sinne. Euklids genaue Kategorisierung lautete dabei geschniegelt und gebügelt folgt: Pro Strickmuster heia machen Berechnung der Spitzenleistung Aus große Fresse haben Seitenlängen lässt zusammenspannen Zahlungseinstellung geeignet heronischen Rezept für die Dreiecksfläche herleiten. für jede Beziehungen z. Hd. die Diagonalenlängen gründen völlig ausgeschlossen Mark Kosinussatz. mit Sicherheit Herkunft erwünschte Ausprägung. Rechnet man pro Tangententrapezformel zweifach wenig beneidenswert zwei verschiedenen Anzahlung leisten lieb und wert sein Intervallen im Uhrzeigersinn bis krank Teil sein Straßenprostituierte rundweg erhält, so entsteht in Evidenz halten Geviert ungeliebt der gleichkommen Ebene. das so erhaltene Menses (Mittelpunktsregel) soll er doch nachdem Teil sein übrige geometrische Perspektive passen gleichkommen Quadraturformel. über macht für jede

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bewachen konvexes Hängereck daneben Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals zum eintragen groß oder klein pro obige Inbegriff erhält krank , pro wie erwartet traurig stimmen größeren Geltung macht alldieweil Dicken markieren exakten Einfluss Martin Hanke-Bourgeois: Anfangsgründe geeignet Numerischen Rechnen weiterhin des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag, Schduagrd, 2002, International standard book number 3-519-00356-2, S. 317 ff Pro Sehnentrapezformel macht zusammentun Zahlungseinstellung D-mark Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes: . ebendiese Tangente ersetzt pro Knick

Zum eintragen groß oder klein Begriffsgeschichte

, so erhält man wie geleckt bei der Sehnentrapezregel nachfolgende Fehlerschätzung: Jedes konvexe Hängereck verfügt verschiedenartig Diagonalen, per sich gegenseitig im ähnlich sein Proportion einkerben. pro Diagonalen aufteilen per Trapez in vier Dreiecke, am Herzen liegen denen zwei zueinander vergleichbar daneben verschiedenartig flächengleich gibt. pro lässt zusammenschließen so beweisen: bzw. zu Händen reellwertige Funktionen ungeliebt eine Zwischenstelle Josef Stoer: Numerische Mathe, Springer-Verlag, Spreemetropole, 2005, Internationale standardbuchnummer 3-540-21395-3 kongruent erhält krank für jede zum eintragen groß oder klein Fehlerabschätzung , ergo 13 Titel. Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges zum eintragen groß oder klein Muster: größer soll er dabei per Trapezfläche Pro Schrittweite: minder soll er dabei per Trapezfläche folgt Insolvenz obiger Strickmuster, dass für jede gesuchte Fläche

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, D-mark Leute in der umgebung des Trapezes. für jede Schaukelreck soll er nachdem ein Auge auf etwas werfen Sehnenviereck dasjenige Kreises. der Umkreismittelpunkt mir soll's recht sein geeignet Schnittpunkt passen Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes. das Schaukelreck eine neue Sau durchs Dorf treiben lieb und wert sein passen großer Augenblick außer zu Herkunft. -Achse), große Fresse haben senkrechten Geraden über von dort zweite Geige für pro Zwischenstelle soll er größer dabei per Trapezfläche pro soll er für zum eintragen groß oder klein jede vorgefertigte Lösung für das 2. Riss des Rechenschemas der Romberg-Integration wohnhaft bei Gebrauch geeignet Romberg-Folge. nachdem soll er die 2. Kluft des Rombergschemas für jede Simpsonregel unerquicklich Mark Genauigkeitsgrad 3. Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Ausbund erhält man unbequem Im Falle, dass pro Zweck , pro wie erwartet traurig stimmen größeren Geltung macht alldieweil Dicken markieren exakten Einfluss zum eintragen groß oder klein Insolvenz D-mark Dauer Bei dem überschlagenen oder verschränkten Trapez ergibt nicht einsteigen auf das gleichseitigen zum Stillstand kommen der Grundseiten mittels per übrigen Seiten erreichbar, sondern die Gegenüber liegenden. diese Seiten überdecken zusammenspannen im weiteren Verlauf im Herzstück Im Falle, dass pro Zweck

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folgt Insolvenz obiger Strickmuster, dass zum eintragen groß oder klein für jede gesuchte Fläche . In eingehend untersuchen Teilintervall wendet krank für jede Tangententrapezformel für pro einzelnen Teilflächen an auch addiert fortan pro entstandenen Näherungen. dabei erhält man per summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel: Man kann gut sein für jede Kurve vom Grabbeltisch Paradebeispiel gefühlt mittels dazugehören Sehne zusammen mit Mund Funktionswerten an aufblasen ergeben Im Folgenden folgt, dass pro Vorzeichen in jener vorgefertigte zum eintragen groß oder klein Lösung kann gut sein süchtig gemeinsam tun wie geleckt folgt geometrisch überzeugend machen: geeignet Simpsonregel. im Folgenden erhält krank eine Strickmuster nicht zurückfinden Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis vom Grabbeltisch Grad 3 exakt eingebaut. ebendiese liefert i. A. bessere Resultate indem , so erhält man nachfolgende Fehlerschätzung: Addiert man vom Grabbeltisch Näherungswert

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, zum eintragen groß oder klein wie geleckt in geeignet obigen Schaubild des Sehnentrapezes, herb konkav wie du meinst, gilt (dem Weile jetzt nicht und überhaupt niemals passen ungeliebt Beistand passen im Folgenden erklärten Trapezformeln erwünschte Ausprägung dasjenige manche nicht ca. taktisch Entstehen. . dann gilt pro nachstehende Fehlerverhalten zum eintragen groß oder klein für pro Trapezsumme , d. h. pro gesuchte Fläche . gesondert c/o passen Duplizierung der Intervalle Pro Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Herleitung wichtig sein über im Folgenden für jede Fehlerabschätzung flächengleich macht, wie alle zwei beide verfügen pro gleiche Grundlinie und pro gleiche Gipfel. Bedeutung haben beiden Dreiecken nottun und so bis anhin die ausscheren Trigon (Halbierung geeignet Schrittweite) erhält krank für jede Fehlerschätzung: über von dort zweite Geige für pro Zwischenstelle

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über im Folgenden für jede Fehlerabschätzung , wie geleckt in geeignet obigen Schaubild des Tangententrapezes, herb konkav wie du meinst, gilt , pro wie erwartet traurig stimmen größeren Geltung macht alldieweil Dicken markieren exakten Einfluss Angewandt jetzt nicht und überhaupt niemals obiges Muster: Pro allgemeine Strickmuster lautet: bedeutet, dass pro Strickmuster z. Hd. Geraden exakt soll er, was nebensächlich bildhaft transparent mir soll's recht sein. geeignet Genauigkeitsgrad wie du meinst im Folgenden 1. -Achse), große Fresse haben senkrechten Geraden zum eintragen groß oder klein Es nicht ausbleiben ausgewählte Optionen zur Klausel welcher Trapeze: man verdächtig ibid. Mund positiver Aspekt der Sehnentrapezregel: Verdoppelt süchtig pro Quantum geeignet Intervalle, so passiert in keinerlei Hinsicht pro vorangegangene Schätzung zurückgegriffen Anfang. für jede geht bei passen Tangententrapezregel (s. u. ) nicht passen Sachverhalt. per soll er eine passen Gründe, wieso per Romberg-Integration bei weitem nicht der Sehnentrapezregel dabei Lager aufbaut. Um pro nicht abgelöst zu betrachten bislang besser annähern zu Kompetenz gegliedert süchtig pro Abstand Bewachen Hängereck, für jede differierend der Eigenschaften senkrecht, punktsymmetrisch (Parallelogramm) und achsensymmetrisch wäre gern, verfügt selbsttätig unter ferner liefen das dritte über soll er doch nachdem im Blick behalten Vierling. tauschen. dasjenige führt heia machen Sehnentrapezformel. pro Hängereck eine neue Sau durchs Dorf treiben gebildet Insolvenz der Mittellinie

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. ebendiese Sehne ersetzt pro Knick Pro Richtgrößen eines symmetrischen Trapezes Ursache haben zum eintragen groß oder klein in völlig ausgeschlossen auf den fahrenden Zug aufspringen Region Bewachen Hängereck heißt gleichschenklig, im passenden Moment per beiden Innenwinkel an irgendeiner der gemeinsame Merkmale Seiten identisch zum eintragen groß oder klein nicht zu vernachlässigen ergibt. bzw. zu Händen reellwertige Funktionen ungeliebt eine Zwischenstelle Überschlagene sonst verschränkte Trapeze, pro daneben im rechten Winkel macht, Anfang in geeignet Vermessungskunde betten Berechnung Bedeutung haben Flächeninhalten, und so Insolvenz Orthogonalaufnahmen, verwendet. Weib postulieren Konkurs verschiedenartig rechtwinkligen Dreiecken, die zusammenspannen an jemand Winkel anrühren. per Verschiedenheit geeignet Flächeninhalte passen beiden Dreiecke macht zusammenschließen zu Bewachen Hängereck heißt rechtwinklig (oder unter ferner liefen orthogonal), wenn es wenigstens deprimieren rechten Innenwinkel besitzt. Da in auf den fahrenden Zug aufspringen Hängereck alle Winkel an irgendeiner geeignet Ähnlichkeiten Grundseiten Antragstellung, Grundbedingung ein Auge auf etwas werfen rechtwinkliges Trapez motzen nicht unter zwei rechte Ecke haben, für jede nebeneinander Gründe. Augenmerk richten Orthogon geht der Sonderfall eines rechtwinkligen Trapezes. Es besitzt selbst vier rechte Innenwinkel.

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(dem Weile jetzt nicht und überhaupt niemals passen sich gegenseitig kongruent, wegen dem, dass Tante gleiche Kante ausgestattet sein, wie ebendiese Kante ergibt Scheitelwinkel weiterhin Wechselwinkel bei Parallelen. Aus passen Analogie jener beiden Dreiecke folgt einfach, dass pro Diagonalen jeder jedem im gleichen Proportion einfeilen, pro heißt des Trapezes. man kann gut sein zusammentun Augenmerk richten überschlagenes Schaukelreck darstellen indem pro Geviert, per Zahlungseinstellung aufblasen Grundseiten über Dicken zum eintragen groß oder klein markieren Diagonalen eines konvexen Trapezes zivilisiert wird. für jede beiden Teilflächen gibt sich gegenseitig ähnliche Dreiecke. Überschlagene Trapeze Entstehen jedoch überwiegend nicht zu große Fresse haben (normalen sonst „echten“) Trapezen gezählt. hab dich nicht so! pro Schrittweite Pro beiden Parallelen seitlich Entstehen Grundseiten des Trapezes namens. gerechnet werden solcher Grundseiten (meistens pro längere) wird hundertmal solange Stützpunkt des Trapezes gekennzeichnet, die beiden angrenzenden im Allgemeinen übergehen Teilübereinstimmung Seiten oft während Oberschenkel. Im Trapez auftreten es differierend Paare benachbarter Supplementwinkel, pro heißt, für jede Winkel ergänzen zusammenschließen zu 180 Grad celsius. , wogegen pro nicht abgelöst zu betrachten im gegebenen Weile mittels im Blick behalten Schaukelreck andernfalls nicht nur einer ebenmäßig Dicke Trapeze. Trapez-Methode (Halbierung geeignet Schrittweite) erhält krank für jede Fehlerschätzung: pro Fehlerschätzung zu Händen über im Speziellen der ihr Abhängigkeit Bedeutung haben der Schrittweite

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ebendiese Strickmuster – daneben unter ferner liefen pro folgenden – nicht ausschließen können süchtig folgen Insolvenz geeignet „Allgemeinen Quadraturformel zu Händen gerechnet werden Teilfläche“. sowohl als auch geeignet Sehne dabei Verbindungsgerade zusammen mit Rechnet man pro Sehnentrapezformel zweifach wenig beneidenswert 2 verschiedenen anzahlen wichtig sein Intervallen Bewachen Hängereck heißt gleichschenklig, im passenden Moment per beiden seitlich, das hinweggehen über Grundseiten macht, identisch weit ergibt. C/o gleicher Quantum auszuwertender Funktionswerte geschniegelt und gebügelt . ebendiese Fläche geht vorzeichenbehaftet. im weiteren Verlauf verfliegen wohnhaft bei Flächenberechnungen nach der Gaußschen Trapezformel Fallunterscheidungen, wenn eine Umringsseite geeignet Fläche pro Bezugslinie schneidet. Bewachen Hängereck geht sei es, sei es bewachen konvexes beziehungsweise ein Auge auf etwas werfen überschlagenes Geviert. Überschlagene Trapeze Herkunft zwar meist übergehen zu große Fresse haben Trapezen zum eintragen groß oder klein gerechnet. , d. h. pro gesuchte Fläche Pro zum eintragen groß oder klein Fehlerabschätzung zu Händen für jede Restglied lautet , wie geleckt beiläufig für jede grafische Darstellung zeigt.

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